Похоже, это опять проблема контроля (отсутствия проверки своих действий). Всё-таки, работа в классе отличается по своей напряжённости, необходимости правильно распределять время, умению отвлекаться от шушуканий и шуршаний тетрадками других детей. Наверняка, дома он спокойно решил бы эти примеры. Значит, дома, даже тогда, когда ребёнок правильно всё решает, он должен обязательно делать проверку. Кроме того, на контрольных не так выражен момент соревновательности (то есть мотивации). Одно дело решить быстрее всех интересную задачу, когда это совсем не обязательно, и совсем другое - выполнить обязательную контрольную, когда присутствует страх неудачи и мотивация подавлена. Постарайтесь накануне контрольной вселять уверенность в мальчика: "Ты всё это знаешь, просто надо аккуратно всё решить и ПРОВЕРИТЬ, тогда будет хорошая оценка".
Что касается устройства глобуса - это также проблема ПРОИЗВОЛЬНОЙ актуализации своих знаний. Ребёнку должно быть интересно об этом рассказывать, он должен считать, что это не проверка его знаний, а просто увлекательная беседа о глобусах (что как раз и характерно для ребёнка с развитием эмоционально-личностной сферы на 6,5 лет).
Про домашнее обучение. А нельзя пропросить учителя учитывать особенности ребёнка и под предлогом просьбы о помощи (разложить тетрадки, вытередь с доски и т.д.) запускать мальчика в класс на перемене, чтобы он одним глазком успевал взглянуть на задание и успокоиться, настроиться? Жалко такого ребёнка на домашнее переводить...